Mag IT Iets Meer Zijn

Ad Infinitum

Afgelopen maandag is wiskundige en oud-IBMer Benoît Mandelbrot overleden. Deze "Mag IT iets méér zijn?" gaat over zijn grote passie en werkgebied: Fractals.

Fractals? Ja, fractals. Dat is niet een nieuwe zoutje van Smith of het laatste widget om leuke social media dingetjes te doen, maar een serieuze wiskundige aangelegenheid en het woord dat Mandelbrot gaf aan dit meetkundige figuur.

Mandelbrot heeft zich beziggehouden met vragen als: Hoe lang is de kust van het Verenigd Koninkrijk? Een valide vraag, maar het antwoord is niet eenduidig. Het ligt eraan welke nauwkeurigheid je nastreeft. Of -anders gezegd- hoeveel detail je wilt zien. Op een Bosatlas met schaal 1: 3 000 000, kan je een draadje pakken, die langs de kustlijn draperen en het opmeten. Een grove benadering, immers 1 mm méér of minder draad representeert 3 km in het veld en je zal er al gauw een paar cm draad naast zitten. Zelfs op een Ordnance Survey stafkaart van 1: 25 000 zal je zien dat het niet meevalt om een nauwkeurige meting te doen. De schaal is weliswaar nauwkeuriger, maar daarmee ook het detail. Je moet het draadje om kleinere kustdetails heen zien te friemelen. Weer onnauwkeurigheid. Als je dit experiment verplaatst naar de echte kust, los je het probleem nog niet op. Voor diegene die wel eens langs de zeer indrukwekkende kust van Schotland hebt gelopen, zie je een schier onmogelijke taak. (En je begrijpt meteen waarom de vraag niet over de Nederlandse kustlijn ging). Nóg dieper ingezoomd kan je proberen de omtrek van 'n rots proberen te meten, maar ook dáár zitten onregelmatigheden in. Tenslotte daal je af naar de moleculaire spellonken van de kust. Je kan dan ook een stelling poneren dat de omtrek van het Verenigd Koninkrijk het oneindige nadert als je het op het laatste detail wilt weten.

In zijn IBM-tijd heeft Mandelbrot de mathematische berekeningen om ruwheid en de zelfgelijkheid beschreven. Híj noemde ze fractals. Zoek maar eens op zijn naam en fractals op het web. De meest mooie figuren komen naar voren. Als je op de video zoekresultaten kijkt, zal je ongetwijfeld een paar indrukwekkende resultaten zien.

Het grote idee van de fractals is dat het een oneindig lange lijn in een eindig figuur te vangen is waarbij --als je inzoomt-- steeds hetzelfde figuur te voor schijnt komt. Onmogelijk? Nou, denk even met me mee:

Men neme een gelijkbenige driehoek

Op één-derde van elke zijde zet je weer een gelijkbenige driehoek, met de punt naar buiten en met de lengte die een-derde is van de originele zijde. Er komt dus eigenlijk een "puntje" op elke zijde te staan.

Teken het maar eens. Wat meteen opvalt is dat er een "ster" is ontstaan met 6 punten en 12 zijden, die allen even lang zijn. Elke punt is weer een gelijkbenige driehoekje en je zou de zojuist beschreven activiteit weer uit kunnen halen op elk klein driehoekje. Dus weer op een-derde van elke zijde een driehoekje plaatsen etc..

Na een stuk of 10 keer deze truuk te hebben gedaan heb je:

a/ pijn aan je ogen en

b/ een ongelofelijk lange lijn.

Als je op een regenachtige zondag niets te doen hebt, zou je deze handeling wel 1000 keer kunnen herhalen en zo een schier oneindige lijn gaan tekenen in een eindig figuur. Eenmaal klaar is het trouwens wel grappig om een vergrootglas te pakken en in te zoomen op de rand van je leuk geknutselde figuurtje. Je zal zien dat hoe sterk je vergrootglas ook is, je altijd weer op hetzelfde patroon ziet. Theoretisch kan je 1000 keer inzoomen en dan nog steeds de gelijkbenige driehoek zien. Als je een computer niet duizend keer deze iteratie laat uitvoeren, maar, zeg, oneindig vaak, krijg je een oneindige lijn en kan je oneindig vaak inzoomen. Met andere woorden kan een fractal ingezoomd worden zonder dat de vorm veranderd. Grappig he?

In de natuur komen zeer veel vormen voor die aan de wiskundige modellen van Mandelbrot beantwoorden. Of eigenlijk andersom. Kijk maar eens --geïntrigeerd-- naar een bloemkool (?) of brocolli en je ziet een 3D fractal, de randen van een varenblad, een schelp en dergelijke. Allemaal vormen die we nu in een wiskundig model kunnen vangen.

Uiteraard vraagt men zich dan af: "Wat heb ik hier aan?". Daarover twee opmerkingen. Als eerste is er de vrijheid binnen IBM Research om dit soort onderzoek te doen. Nog steeds. Van te voren weet je niet of er iets zinnigs uit onderzoek komt. Maar vaak levert onderzoek een zeer onverwacht resultaat op. Zo ook met Mandelbrot's fractals. Beschrijvingen van ruwheid en het kunnen rekenen ermee, zien we vandaag de dag om ons heen. Het zijn de computeranimaties van high-tech films, die er gebruik van maken, maar ook zaken als compressie van beeld en geluid. Op 85 jarige leeftijd is Benoît Mandelbrot overleden. Zijn leven bleek, net als die van vele onder ons, eindig te zijn. Het werk wat hij achterliet zijn --evenals de omtrek van de fractals-- bij ons ad infinitum